प्रायिकता Probability कक्षा 12

 प्रायिकता 

Probability

 कक्षा 12 

-: प्रायिकता (Probability):-

① सप्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability):-

घटना F के घटने के बाद, घटना E की प्रायिकता 

[P(E/F) = [n(E∩F)/n(s)]/[n(F)/n(s) 

P(E/F) = P(EበF)/P(F)

②P(E'/F) = 1-P(E/F)

③ प्रायिकता का गुणन नियमः-

P(A∩B)=P(A). P(B/A) 

P(A∩B)=P(B).P(A/B)

④ यदि A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो 

P(AበB) = P(A).P(B)

⑤ सम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय :-

P(E) = P(E¹).P(E/E¹)+P(E²).P(E/E²)+..+P(En).P(E/En)

⑥ बेज-प्रमेय (Baye's Theorem):-

P(Ei/E) = {P(Ei).P(E/Eⅰ)}/ Σ P(Ei).P(E/Ei)

महत्वपूर्ण प्रश्नों की श्रृंखला 

1.एक व्यक्ति A, 70% घटनाओं में तथा दूसरा व्यक्ति B,60% घटनाओं में सत्य बोलता है। एक घटना के लिए,दोनों के एक-दूसरे से सहमत होने की प्रायिकता है-

(a) 0.42 (b) 0.58 (c) 0.54 (d) 0.46

2. दो पाँसों के एक उछाल में योग 7 से अधिक आने की प्रायिकता होगी जबकि पहले पाँसे पर 4 आता है।

(a) 1/3 (b) 1/2 (c) 1/12 (d) इनमें से कोई नहीं

3. A और B दो घटनाएँ हैं कि P(A / B) =P(B/A)#0 तब निम्न से घटनाओं के बारे में सही चयन कीजिए:

(a) A subset B (b) A = B 

(c) A intersection B = phi (d) P(A) = P(B)

4. एक थैला A में 2 सफेद तथा 3 लाल गेंद हैं तथा थैला B में 4 सफेद तथा 5 लाल गेंद हैं। एक गेंद किसी भी थैले से यदृच्छया निकाली जाती है और वह लाल निकलती है तो इसके थैला B से निकलने की प्रायिकता होगी-

(a) 5/14 (b) 5/16 (c) 5/18 (d) 25/52

5. यदि A तथा B दो घटनाएँ हैं जिससे P(A) =1/3,P(B) = 1/4 तथा P(A intersection B)= 1/5 है 

तो P(B'/A )=

(a) 37/40 (b) 37/45 (c) 23/40 (d) इनमें से कोई नहीं

6. एक बक्से में 10 कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिख कर रखे गये और उन्हें अच्छी तरह से मिलाया गया। इस बक्से से एक कार्ड यदृच्छया निकाला गया। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

7. एक पाठशाला में 1000 विद्यार्थी हैं जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं 430 लड़कियों में से 10% लड़कियाँ कक्षा 11 में पढ़ती हैं, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यदृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा 11 में पढ़ता है यदि यह ज्ञात है कि चुना गया विद्यार्थी लड़की है।

8. एक परिवार में दो बच्चें हैं। यदि यह ज्ञात है कि बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है तो दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

9. पूर्णांकों 1 से 9 तक में से दो पूर्णांक यदृच्छया चुने जाते हैं। यदि इनका योग सम है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पूर्णांक विषम हो।

10. एक पाँसे को एक बार उछाला जाता है। घटना 'पाँसे पर प्राप्त संख्या 3 का अपवर्त्य है' को E₁ से 'पाँसे पर प्राप्त संख्या सम है' को E₂ से निरूपित किया जाये तो सिद्ध कीजिए कि घटनाएँ E₁ व E₂ स्वतन्त्र हैं।

11. यदि A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो दिखाइए कि A या B में से न्यूनतम एक के होने की प्रायिकता 1 - P(A') * P(B') होगी।

12. मनुष्य A के अगले 10 वर्ष और जीवित रहने की प्रायिकता 1/4 तथा मनुष्य B के अगले 10 वर्ष और जीवित रहने की प्रायिकता 1/3 है।

निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-

(i) अगले 10 वर्षों में दोनों जीवित रहेंगें।

(ii) अगले 10 वर्षों में कम से कम एक अवश्य जीवित रहेगा।

13. तीन छात्र किसी परीक्षा में बैठते हैं। यदि उनके उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्रमशः  1/3, 1/4, 1/5 हो, तो उनमें से कम से कम दो के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

14. एक व्यक्ति निर्माण कार्य का ठेका लेता है। हड़ताल होने की प्रायिकता 0.65 है। हड़ताल न होने तथा हड़ताल होने की स्थितियों में निर्माण कार्य समयानुसार पूरा होने की प्रायिकता क्रमशः 0.8 तथा 0.32 हैं। कार्य समय से पूरा हो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

15. तीन अभिन्न डिब्बे I, II व III दिये गये हैं, जहाँ प्रत्येक में दो सिक्के हैं। डिब्बे 1 में दोनों सिक्के सोने के हैं, डिब्बे II में दोनों सिक्के चाँदी के हैं और डिब्बे III में एक सोने व एक चाँदी का सिक्का है। एक व्यक्ति यदृच्छया एक डिब्बा चुनता है और उसमें से यदृच्छया एक सिक्का निकलता है। यदि सिक्का सोने का है, तो डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

16. एक डॉक्टर को एक रोगी को देखने जाना है। उसके ट्रेन, बस, स्कूटर या किसी अन्य वाहन से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः 3/10, 1/5, 1/10  या 2/5 हैं। यदि वह ट्रेन, बस या स्कूटर से आता है, तो उसके देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः 1/4, 1/3 या 1/12 हैं, परन्तु किसी अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है। यदि वह देर से आया तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

17. एक थैले में 4 सफेद तथा 5 काली गेंदें हैं। दूसरे थैले में 6 सफेद तथा 7 काली गेंदें हैं। प्रथम थैले से एक गेंद निकालकर दूसरे थैले में डाली जाती है और दूसरे थैले से गेंदें निकाली जाती है। निकाली गयी गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

18. एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। माना उसके उत्तर जानने की प्रायिकता 3/4 है तथा अनुमान लगाने की प्रायिकता 1/4 है। मान ले कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता 1/4 है तो इस बात की प्रायिकता क्या है, कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है? यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है।

19. A तथा B के स्वतन्त्र रूप से किसी विशिष्ट प्रश्न को हल करने की प्रायिकता 1/2 तथा 1/3 है। यदि दोनों एक साथ उसे हल करते हैं। प्रायिकता ज्ञात करो-

(i) प्रश्न हल हो जाए।

(ii) उनमें से कोई एक प्रश्न हल कर दें।

20. A किसी लक्ष्य को 5 प्रयास में से 4 बार, B उसे 4 प्रयास में से 3 बार तथा C उसे 3 प्रयास में से 2 बार भेद सकता है। लक्ष्य के भेदन की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

 

हम आपके उज्ज्वल भविष्य की कामना करते हैं!